Devoirs en temps libres (hebdomadaires), année 2004-2005

• DM 1 : Entiers naturels ; anneaux de Boole Boole.ps et Boole.pdf . Démonstrations des propriétés usuelles des opérations dans les entiers naturels ; anneaux de Boole (exemples, intégrité, relation d'ordre).
• DM 2 Théorème de Morley Morley.pdf . Les trissectrices intérieurs d'un triangle déterminent un triangle équilatéral. .
• DM 3 : Courbes paramétrées planes.  courbesplanes.ps et courbesplanes.pdf . Trois exercices, dont deux courbes paramétrées. 
• DM 4 :  Equations différentielles linéaires.  Cauchy.ps et Cauchy.pdf . Trois exercices: une équation différentielle récurrente, les équations de Cauchy et une équation fonctionnelle. 
• DM 5 : Sous-groupes de R.  ssgpreR.ps et ssgpeR.pdf . Trois problèmes: sous-groupes de R et applications, additions de résistances électriques et irrationnalité de exp(r).
  
• DM 6 : Dérivée discrète et applications.  Delta.ps et Delta.pdf . Dérivée discrète, propriétés, lien avec les sommes finies ; applications. 
• DM 7 : Fonctions réelles de la variable réelle. homéo.ps et homéo.pdf . Quatre exercices sur la convexité, les homéomorphismes entre intervalles de R et les fonctions usuelles. 
• DM 8 : Développements asymptotiques. das.pdf . Quatre exercices autour des développements asymptotiques.
• DM 9 : Autour de la moyenne de Césaro. Cesaro.pdf . Application de Césaro pour le comportement asymptotique de suites récurrentes. 
• DM 10 :   Nombres congruents. Fermat.ps et Fermat.pdf . Les triplets pythagoriciens, avec application à l'équation de Fermat pour n=4, et les triangles rectangles dont l'aire est un carré (d'après le texte original de Fermat). Dernière partie sur les nombres congruents, les points rationnels des courbes elliptiques et leur hauteur, le tout pimenté de Maple, sinon, ce n'est pas humain. 
• DM 11 :  Grand théorème de Fermat pour les polynômes. Liouville.ps et Liouville.pdf . La démonstration à partir de l'inégalité de Mason. Grand classique et facile. 
• DM 12 : Localisation de racines. Un long devoir de vacances, sur la géométrie des racines complexes d'un polynôme.
• DM 13 : La règle de Descartes. Descartes.ps et  Descartes.pdf. Deux exercices de calcul différentiel et un problème : règle de Descartes concernant le nombre de racines positives d'un polynôme réel, localisation des racines, algorithme de séparation des zéros d'une fonction.  
• DM 14 :  Suites équiréparties.  Avec une application à la fréquence des chiffres apparaissant  au début des puissances de 2 en base 10.
• DM 15 :  Pas de DM 15.
• DM 16 : Algèbre linéaire sans dimension. Noyaux.ps et  Noyaux.pdf. Noyaux itérés, un isomorphisme entre espace fonctionnel et une application à une équation différentielle linéaire du second ordre. 
• DM 17 : Algèbre linéaire en dimension finie. Bézout.ps et  Bézout.pdf. Un calcul de dimension ; le théorème de Bézout et congruences modulo un polynôme.
  
• DM 18 : Algèbre linéaire et calcul matriciel. Cartan.ps et  Cartan.pdf. Quaternions ; base de Hilbert ; un problème sur les algèbres de Lie en quatre parties.
  
• DM 19 : Déterminants de Cassorati.
• DM 20 : Système de racines de sl(3,R) ; projection orthogonale dans un espace de polynômes. Cartan2.ps et  Cartan2.pdf. Quaternions ; base de Hilbert ; un problème sur les algèbres de Lie en quatre parties.
• DM 21 : Algèbres de quaternions. Hamilton.ps et  Hamilton.pdf. [CCP 2002 MP deuxième problème]. Etude de sous-algèbres de M(n,C) ; automorphismes de l'algèbre des quaternions.
  
• DM 22 : Déplacements de l'espace. Déplacements.pdf. [Mines PC deuxième problème]. Une écriture matricielle du fibré tangent de SO(3,R). 
• DM 23 : Fonctions harmoniques. Laplace.pdf.. Deux problèmes : un exemple d'utilisation des multiplicateurs de Lagrange pour obtenir l'inégalité de Hoelder ; [D'après concours] Le théorème de d'Alembert via le théorème de Liouville sur les fonctions harmoniques dans le plan.
• DM 24 : Etude de fonctions; algèbre linéaire. Bouverot.ps et  Bouverot.pdf. [Mines Sup 98].
• DM 25 : La courbe de Peano. Peano.ps et  Peano.pdf. Comme son nom l'indique.
• DM 26 : Indice d'un lacet. Indice d'un lacet, théorème des résidus, application au théorème de d'Alembert.