{VERSION 5 0 "IBM INTEL NT" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 
0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "" -1 256 "" 1 12 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
257 "" 1 12 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 1 12 0 
0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 1 12 0 0 0 0 1 2 0 0 
0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 1 12 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal
" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 
1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 
0 1 }{PSTYLE "Heading 2" -1 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 
2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Warning" 
-1 7 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 255 1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 }
1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Output" -1 11 1 {CSTYLE "
" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 3 0 0 0 0 1 0 1 0 
2 2 0 1 }{PSTYLE "Title" -1 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 
1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 12 12 1 0 1 0 2 2 19 1 }{PSTYLE "Author
" -1 19 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }
3 1 0 0 8 8 1 0 1 0 2 2 0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 28 "La premi\350re preuve de \+
Gauss " }}{PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 36 "du th\351or\350me fondamental \+
de l'alg\350bre" }}{PARA 19 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Serge Dupont 2005" }
{TEXT 18 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 242 "L'objectif de ce
 probl\350me est de d\351montrer le th\351or\350me fondamental de l'al
g\350bre : tout polyn\364me \340 coefficients complexes de degr\351 au
 moins un admet une racine. Comme nous ne sommes pas des Gauss, nous a
llons exp\351rimenter avant de d\351montrer.  " }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "restart: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 50 "Warning,
 the name changecoords has been redefined\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 406 "Le but p\351dagogique de ce TP n'est pas de programmer
. Il s'agit de se servir des capacit\351s de Maple pour exp\351rimente
r. Une grande place est donc laiss\351e pour les essais et les erreurs
. \nLes principales commandes Maple utiles seront 'plot', 'implicitplo
t', 'expand', 'assume', ainsi que bien d'autres. Ne pas h\351siter \+
\340 faire de beaux graphiques gr\342ce aux options 'numpoints', 'grid
', 'scaling=constrained'..." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Nous prendrons comme premier exemp
le le polyn\364me P suivant (d\351j\340 consid\351r\351 par Gauss) :" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "P:=X^7+28*X^4-480:" }}}
{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Trac\351 des branches de l'\351quation P(
z)=0" }}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Question 1: " }{TEXT 256 
8 "(10 min)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Exprimer Re(P(z)) et Im(P(
z)) en fonction de x=Re(z) et y=Im(z). " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Question 2:
 " }{TEXT 257 8 "(20 min)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 186 "Tracer sur \+
un m\352me graphique Re(P(z))=0 en bleu et Im(P(z))=0 en rouge. Commen
t reconnait-on graphiquement les racines de P ? Faire un zoom sur un p
oint o\371 la situation n'est pas claire." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Question 3:
 " }{TEXT 258 7 "(3 min)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 180 "Ajouter au g
raphique pr\351c\351dent un cercle en vert de centre O et de rayon au \+
choix (mais pas trop grand quand m\352me) tel que toutes les racines d
e P soient \340 l'int\351rieur du cercle.  " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Expression
 en coordonn\351es polaires " }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "
Question 4: " }{TEXT 259 109 "(10 min) Cette question n'est pas essent
ielle pour la suite. Vous pouvez la sauter si vous manquez de temps. \+
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Exprimer Re(P(z)) et Im(P(z)) en coo
rdonn\351es polaires. On exprimera Re(P) et Im(P) en fonction de r, co
s t et sin t. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}
{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Question 5: " }{TEXT 260 8 "(20 m
in)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 175 "Tracer de trois couleurs diff\351
rentes les surfaces correspondant \340 (x,y)->Re(P), (x,y)->Im(P) et z
=0. Il s'agit donc de dessins dans l'espace. (cf. 'plot3d' et ses vari
ations.)" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{EXCHG 
{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 25 "D\351monstration du th\351or\350me" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Soient T=Re(P) et U=Im(P)." }}}{SECT 0 
{PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Question 6: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
197 "Quelle propri\351t\351 sur les courbes de T et U cherche-t-on \+
\340 montrer ? V\351rifier que pour les polyn\364mes suivants, cette p
ropri\351t\351 est v\351rifi\351.  Le v\351rifier aussi pour quelques \+
polyn\364mes de votre choix." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
30 "P1:=X^4-9*X+18: P2:=X^4+5*X+5:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Question 7:
 " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Pourquoi les courbes T=0 et U=0 ne s
ont-elles pas vides ?" }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Questio
n 8: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Pourquoi les courbes T=0 et U=0 \+
sont-elles si r\351guli\350res en dehors d'un grand disque ?" }}}
{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Question 9:" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 145 "Regarder l'alternance des courbes T=0 et U=0 sur un gran
d cercle vert. Que constate-t-on ? Qu'en d\351duire ? On raisonnera bi
en s\373r par r\351currence." }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 "
Question 10: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Comment compter graphiq
uement le nombre de racines et leur multiplicit\351 ? Quelle est la r
\351ponse pour P ?" }}}{SECT 0 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Question 1
1:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 146 "Pour les polyn\364mes suivants, d
\351terminer leurs racines (avec multiplicit\351s si possible) et comp
arer avec le r\351sultats num\351riques donn\351 par 'solve'." }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "P:=diff((1-X^2)^4,X$4);" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"PG,(*$)%\"TG\"\"%\"\"\"\"$%Q*(\"%_
6F*,&F*F**$)F(\"\"#F*!\"\"F*F0F*F2*&\"$W\"F*)F.F1F*F*" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "P:=numtheory[cyclotomic](k,X); " }
{TEXT -1 0 "" }{TEXT 268 16 "(faire varier k)" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%\"PG,0*$)%\"XG\"\")\"\"\"F**$)F(\"\"(F*F**$)F(\"\"&F*
!\"\"*$)F(\"\"%F*F1*$)F(\"\"$F*F1F(F*F*F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 9 "solve(P):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
0 "" }}}}{EXCHG {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Conclusion" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 138 "Pour Mr Dupont lundi matin, r\351diger une quinzain
e de lignes r\351sumant la preuve esquiss\351e ci-dessus du th\351or
\350me fondamental de l'alg\350bre.  " }}}}{MARK "14 0 0" 1 }
{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }